Mathematics, 02.09.2020 05:01 joedawg50

1) El producto de dos números naturales consecutivos es 272. ¿Cuáles son esos números? 2) Hallar dos números naturales tales que su suma es 28 y la diferencia de sus cuadrados es 56.

3) Halla el lado de un cuadrado tal que la suma de su área más su perímetro es numéricamente igual a 252.

4) Se quiere vallar una finca rectangular que tiene de largo 25 m más que de ancho y cuya diagonal mide 125 m. ¿Cuántos metros de valla se necesitan?

5) La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto, y hace tres años que su edad era precisamente la raíz cuadrada de este cuadrado. ¿Qué edad tiene?

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1) 135 y 137, 2) 13 y 15, 3) El lado del cuadrado es de 14 unidades, 4) Se necesita 350 metros de valla, 5) El niño tiene 6 años de edad.

Step-by-step explanation:

1) El conjunto de los números naturales comprende al subconjunto de los números reales que son enteros y positivos. El enunciado se puede traducir con la siguiente expresión numérica:

x + (x+n) = 272

Donde y son números naturales. Se despeja :

i) $2\cdot x + n = 272$ Propiedad asociativa/Definición de adición

ii) $2\cdot x = 272-n$ Compatibilidad con la adición/Existencia del inverso aditivo/Propiedad modulativa/Definición de sustracción

iii) $x = \frac{272-n}{2}$ Compatibilidad con la multiplicación/Existencia del inverso multiplicativo/Propiedad modulativa/Definición de división

iv) $x = \frac{272}{2}-\frac{n}{2}$ $\frac{x+y}{z} = \frac{x}{z} + \frac{y}{z}$

v) $x = 136 - \frac{n}{2}$ Definición de división/Resultado

Puesto que y son números naturales, $\frac{n}{2}$ también debe ser entero y para garantizar la consecución entre los números, debe ser el elemento natural más pequeño posible. El número natural más pequeño es 1, por tanto, el valor mínimo de es 2. En consecuencia, el valor de es:

$x = 136-\frac{2}{2}$

x = 136-1

x = 135

Los dos números naturales consecutivos son 135 y 137.

2) El enunciado se puede traducir en las siguientes dos ecuaciones matemáticas:

x+y = 28

$x^{2}-y^{2} = 56$

Se despeja una de las variables de la primera ecuación y se elimina la variable correspondiente en la segunda ecuación:

x = 28-y

$(28-y)^{2}-y^{2} = 56$

Se expande la ecuación resultante por álgebra de reales:

$784-56\cdot y +y^{2}-y^{2} = 56$

$784-56\cdot y = 56$

$56\cdot y = 784-56$

$56\cdot y = 728$

y = 13

Finalmente, se halla el valor de la variable restante:

x = 28-13

x = 15

Los dos números naturales son 13 y 15.

3) Las fórmulas para el área () y el perímetro del cuadrado () son, respectivamente:

$A = l^{2}$

$p = 4\cdot l$

Donde es la longitud del lado del cuadrado.

De acuerdo con el enunciado, existe la siguiente condición:

A + p = 252

$l^{2}+4\cdot l = 252$

$l^{2}+4\cdot l -252 = 0$

La ecuación resultante es un polinomio de segundo orden, cuyas raíces se obtienen por la Fórmula Cuadrática:

$l_{1} = 14$ y $l_{2} = -18$

La primera raíz es la única solución razonable para la condición dada.

El lado del cuadrado es de 14 unidades.

4) Dado que la finca tiene una área rectangular y que se conoce la medida de la diagonal así como la diferencia entre el largo y el ancho, se puede determinar las variables restantes a partir del Teorema de Pitágoras:

$d^{2} = l^{2}+w^{2}$

Donde:

- Diagonal, medida en metros.

- Largo, medido en metros.

- Ancho, medido en metros.

Además, las relaciones son las siguientes:

$l = w + 25\,m$

$d = 125\,m$

Se desarrolla y simplifica la identidad pitagórica hasta obtenerse un polinomio de segundo orden:

$125^{2} = (w+25)^{2}+w^{2}$

$2\cdot w^{2}+50\cdot w -15000 = 0$

Las raíces del polinomio se hallan con ayuda de la Fórmula Cuadrática:

$w_{1} = 75$ y $w_{2} = -100$

Solo la primera raíz ofrece una solución razonable, el ancho del rectángulo es de 75 metros. Por último, se halla el largo de la figura:

$l = 75\,m+25\,m$

$l = 100\,m$

El largo del rectángulo es de 100 metros.

El perímetro del rectángulo (), medido en metros, es calculado por la siguiente fórmula:

$p = 2\cdot (w+l)$

$p = 2\cdot (75\,m+100\,m)$

$p = 350\,m$

Se necesita 350 metros de valla.

5) Sea la edad actual del niño y el lado del cuadrado. Entonces:

$x + 3 = l^{2}$

x -3 = l

Se reemplaza el lado del cuadrado en la primera ecuación con ayuda de la segunda ecuación:

$x+3 = (x-3)^{2}$

$x +3 = x^{2}-6\cdot x + 9$

$x^{2}-7\cdot x+6 = 0$

Las raíces se obtienen por factorización:

$(x-6)\cdot (x-1) = 0$

$x = 6 \,\wedge \,x = 1$

Ambas raíces son parecen razonables, se comprueba cada una para ver si satisfacen las condiciones del enunciado:

x = 1

$1+3 = l^{2}$

$4 = l^{2}$

1-3 = l

-2 = l

Si bien está matemáticamente bien, no lo es en lo que respecta a edad.

x = 6

$6+3 = l^{2}$

$9 = l^{2}$

6-3 = l

3 = l

Esta solución es correcto en cuanto a matemática y edad.

El niño tiene 6 años de edad.

Answer from: Quest

answer: no, but if it does it's a obvious pattern.

step-by-step explanation:

Do you notice any patterns in the histogram? (don't just say "yes" or "no")

Answer from: Quest

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