Câu 1 (2 điểm). Cho hệ các vector U = − − + − {(1,2, ); (2,3, 1);(1,0,2 n n n (0, 1,1 ); ) n } .
a. Tìm số chiều và một cơ sở W của không gian con sinh bởi hệ vector U .
b. Tìm tham số k để 2
u k = + (2,3, 1) là một tổ hợp tuyến tính của W , và suy ra [ ]W
u .
Câu 2 (2 điểm). Trong không gian vector 3 ℝ cho hai hệ vector
U u m u u = { 1 2 3 = − = = ( 2,2,5); (2,1,3); (3,1,3)} ,
V v m v m v = − −= { 1 2 3 = = ( ( 1,2,1); ,2,1); ( 1,7,4)} .
a. Chứng tỏ U , V là hai cơ sở của 3 ℝ .
b. Cho x m = − ( ,2, 3), tìm tọa độ của x theo cơ sở V .
c. Tìm U V P →
và V U P →
.
d. Sử dụng công thức đổi tọa độ, tìm tọa độ của x theo cơ sở U .
Câu 3 (2 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : ℝ ℝ → và hai cơ sở của 3 ℝ :
B b b n b = = = − = { 1 2 3 (1,3,3), ( ,6,5), (1,2,2)} ,
C c = − {c n c 1 2 3 = = = ( ), ( ), ( ) 2, 3,3 5, 1, 5 − + − − 1,0,1 } .
Biết: 1
f b( ) ( 5,6,4) = − , 2
f b( ) ( 8,5,2) = − , 3
f b( ) ( 9, 2, 5) = − − − .
a. Tìm ma trận
3
[ ] A f E
= , từ đó suy ra biểu thức của 1 2 3 f x x x ( , , ).
2/2
b. Tìm ma trận [ ]B
f .
c. Từ [ ]B
f , hãy tính ma trận [ ]C
B
f .
d. Cho vector ( 2,3, ) x n = − , hãy tính [ ]B
x và suy ra [ ( )]C
f x .
Câu 4 (3 điểm). Cho ma trận
3 2 2 2 2
2 2 1 2 2
2 1 2
m m
m m
m m
A
 − − − − 
 
+ −
− −  
=
− −
.
a. Chéo hóa ma trận A .
b. Từ kết quả câu a, hãy tính 10 A .
Câu 5 (1 điểm).
a. Trong mặt phẳngOxy , phép quay mỗi
vector quanh gốc tọa độ một góc α ngược
chiều kim đồng hồ là một ánh xạ tuyến tính
(Hình 1). Hãy tìm ma trận biểu diễn và biểu
thức của phép quay trên.
Áp dụng: Cho tam giác MNP gồm các
đỉnh (1,1) M , (1,2) N , (3,3) P hãy tìm ảnh của
tam giác MNP qua phép quay nói trên, biết
góc quay là / 4 α = π và vẽ hình biểu diễn.
b. Trình bày một ứng dụng của môn học này.